Java数据结构和算法(七)排序算法

逆流者 2021年02月21日 56次浏览

1 排序算法的介绍

排序也称排序算法(SortAlgorithm),排序是将 一组数据,依 指定的顺序进行 排列的过程。

2 排序的分类

  1. 内部排序:
    指将需要处理的所有数据都加载到 内部存储器( 内存)中进行排序。
  2. 外部排序法:
    数据量过大,无法全部加载到内存中,需要借助 外部存储( 文件等)进行排序。
  3. 常见的排序算法分类:

在这里插入图片描述

3 算法的时间复杂度

3.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

  • 事后统计的方法
    这种方法可行, 但是有两个问题:
    一是要想对设计的算法的运行性能进行评测,需要实际运行该程序;
    二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式,要在同一台计算机的相同状态下运行,才能比较那个算法速度更快。
  • 事前估算的方法
    通过分析某个算法的 时间复杂度来判断哪个算法更优。

3.2 时间频度

时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。 一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。

例如:计算 1-100 所有数字之和, 我们设计两种算法:

int total = 0;
int start = 1;
int end = 100;
// 算法1
for (int i = start; i <= end; i++) {
    total += i;
}
System.out.println("算法1:" + total);

// 算法2
total = (start + end) * end / 2;
System.out.println("算法2:" + total);

忽略常数项

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
结论:

2n+20 和 2n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 20可以忽略
3n+10 和 3n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 10可以忽略

忽略低次项

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
分析:

2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

忽略系数

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
分析:

随着 n 值变大,5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ,执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5 和 3 可以忽略。
而 n^3+5n 和 6n^3+4n ,执行曲线分离,说明多少次方式关键

3.3 时间复杂度

  • 一般情况下, 算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数,用 T(n)表示,若有某个辅助函数 f(n),使得当 n 趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)= O( f(n) ),称O( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
  • T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为 O(n²)。
  • 计算时间复杂度的方法:
    • 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
    • 修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
    • 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

3.4 常见的时间复杂度

  • 常数阶 O(1)
  • 对数阶 O($log_2 n$)
  • 线性阶 O(n)
  • 线性对数阶 O($nlog_2 n$)
  • 平方阶 O($n^2$)
  • 立方阶 O($n^3$)
  • k 次方阶 O($n^k$)
  • 指数阶 O($2^n$)

常见的时间复杂度对应的图:
在这里插入图片描述
说明:

  1. 常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο($log_2 n$)<Ο(n)<Ο($nlog_2 n$)<Ο($n2$)<Ο($n3$)< Ο($nk$) <Ο($2n$) ,随着问题规模 n 的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。
  2. 从图中可见,我们应该尽可能避免使用指数阶的算法。

常数阶 O(1)

无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

int i = 1;
int j = 2;
int m = i + j;

对数阶 O($log_2 n$)

先说下对数,知道的可忽略:
如果a的x次方等于N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=$log_a N$。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。

int i = 1;
while (i < n) {
    i = i * 2;
}

在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = $log_2 n$,也就是说当循环 $log_2 n$次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O($log_2 n$) ,O($log_2 n$) 的这个2 时间上是根据代码变化的,i = i * 3 ,则是 O($log_3 n$) 。

线性阶O(n)

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    System.out.println(i);
}

for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

线性对数阶O($nlog_2 n$)

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int j = 1;
    while (j < n) {
        j = j * 2;
    }
}

线性对数阶O($nlog_2 n$) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O($log_2 n$)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O($log_2 n$),也就是了O($nlog_2 n$)。

平方阶O(n²)

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        System.out.println(i + " " + j);
    }
}

平方阶O(n²) 就更容易理解了,如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O(n²),这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是 O(n*n),即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m,那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

立方阶O(n³)、K次方阶O($n^k$)

参考上面的O(n²) 去理解就好了,O(n³)相当于三层n循环,其它的类似。

3.5平均时间复杂度和最坏时间复杂度

  1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。
  2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。 一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
  3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致,和算法有关(如图:)。
排序法平均时间最坏时间稳定度额外空间备注
冒泡O($n^2$)O($n^2$)稳定O(1)n小时较好
交换O($n^2$)O($n^2$)不稳定O(1)n小时较好
选择O($n^2$)O($n^2$)不稳定O(1)n小时较好
插入O($n^2$)O($n^2$)稳定O(1)大部分排序较好
基数O($log_R B$)O($log_R B$)稳定O(n)B是真数(0-9),R是基数(个十百)
ShellO(nlogn)O($n^s$)1<s<2不稳定O(1)s是所选分组
快速O(nlogn)O($n^2$)不稳定O(nlogn)n大时较好
归并O(nlogn)O(nlogn)稳定O(1)n大时较好
O(nlogn)O(nlogn)不稳定O(1)n大时较好

4 算法的空间复杂度

4.1基本介绍

  1. 类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模 n 的函数。
  2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关,它随着 n 的增大而增大,当 n 较大时,将占用较多的存储单元,例如快速排序和 归并排序算法, 基数排序就属于这种情况
  3. 在做算法分析时,主要讨论的是时间复杂度。 从用户使用体验上看 , 更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)。

具体排序算法请看后面的博文